Изложены основные этапы разработки и развития геометрических методов определения интегральных физических характеристик в двумерных задачах теории упругости и строительной механики пластинок за последние 30 лет: изопериметрического метода (ИЗПМ), метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ), метода интерполяции по отношению внутреннего к внешнему конформных радиусов (МИОКР). В основу этих инженерных методов положены изопериметрические свойства интегральных геометрических характеристик – коэффициента формы области и отношения её конформных радиусов, а также закономерности изменения этих характеристик при моделировании формы исследуемой области. В обзоре кратко изложены основные свойства указанных геометрических характеристик, составляющих геометрическую основу разрабатываемых методов. Исследованиями авторского коллектива доказано, что рассматриваемые в обзоре интегральные физические характеристики обладают изопериметрическими свойствами, аналогичными геометрическим характеристикам. Поэтому удалось свести решение сложных физических задач к решению элементарной геометрической задачи – исследованию поведения интегральной геометрической характеристики при моделировании формы области. Сущность ИЗПМ заключается в построении одно- или двусторонних неравенств, которые ограничивают с двух сторон искомую физическую характеристику. Для успешного применения этого метода были построены граничные кривые в координатных осях «физическая характеристика – интегральный геометрический параметр». С большей точностью могут быть определены рассматриваемые физические параметры с помощью МИКФ. В отличие от ИЗПМ этот метод позволяет получать аналитические зависимости, связывающие физические характеристики с геометрическими. Этот метод развит достаточно глубоко, охватывает большое число решаемых задач. В последние годы этот метод получил развитие для расчета ортотропных пластинок и решения задач определения жесткости пластинок на упругом основании. Сделаны также существенные шаги для применения этого метода к решению задач устойчивости пологих оболочек. При использовании МИОКР точность получаемых результатов возросла, поскольку область возможных решений, представленная в координатных осях «физическая характеристика – интегральный геометрический параметр» стала вдвое уже, чем при использовании коэффициента формы. В представленном обзоре показано как последовательно шаг за шагом и целенаправленно развивались рассматриваемые геометрические методы для решения двумерных задач теории упругости и строительной механики.

The basic stages of design and development of geometric methods for determining the integral of the physical characteristics in two-dimensional problems of elasticity theory and structural mechanics of plates over the last 30 years: isoperimetric method (SPM), the method of interpolation by shape factor (MICF), the interpolation method against the inner to the outer conformal radii (MICR). The basis of these engineering methods is based on isoperimetric properties of the integral of geometric characteristics – the shape factor of the region and its relations of conformal radii, and patterns of change of these characteristics when modeling the shape of the study area. The review summarizes basic properties of these geometric characteristics, the components of the geometric basis of the developed methods. The research authors proved that the reviewed integrated physical characteristics have isoperimetric properties similar geometric characteristics. Therefore, we were able to reduce the solution of complex physical problems to the solution of elementary geometrical problem – the study of behavior of integral geometric characteristics when modeling the shape of the region. The essence ISPM is to build one - or two-sided inequalities, which limit two sides of the desired physical characteristic. For the successful application of this method were built boundary curves in the coordinate axes of the "physical characteristic integral – geometric setting". More accurately can be determined the physical parameters using MICF. Unlike ISPM this method allows to obtain analytical expressions linking physical characteristics with geometric. This method is developed quite deeply, and covers a large number of tasks. In recent years this method has been developed for the calculation of orthotropic plates and solving the problems of determining the stiffness of the plates on elastic Foundation. Also made significant steps to applying this method to the solution of problems of stability of shallow shells. When using MICR the accuracy of the results increased, because the scope of possible solutions, represented in coordinate axes "physical characteristic integral – geometric setting" has become twice narrower than when using the shape factor. In the present review it is shown how step by step and consistently developed under consideration of geometric methods for solving two-dimensional problems of elasticity theory and structural mechanics.