Внедрение микросхем в интегральном исполнении привело к необходимости разработки методов расчета магнитных полей, создаваемых элементами микросхем, с учетом увеличения степени взаимовлияния интегральных элементов в планарном исполнении, которое имеет обычно приемлемые значения для слаботочных сигналов, но должно учитываться при росте уровня мощности новых интегральных элементов микро– и наноразмеров в различных диапазонах частот [1, 2].

Расчет поля проводится аналитически только для тонких проводников или численными методами для более сложных конфигураций [3]. Этот недостаток теории требует создания новых физико-математических моделей [3, 4], которые позволят получить аналитические решения для схем планарной технологии. Мощность микроэлектронных электронных устройств, выполняемых обычно в интегральном исполнении, определяется сечением токопроводящих элементов из-за роста джоулевых потерь энергии при увеличении токов в схемах обработки информации и ограничена уровнями десятков микроватт, поэтому дальнейшее увеличение уровня мощности передаваемых сигналов в интегральных схемах требует развития методов аналитического расчета интегральных структур, в частности методов расчета электромагнитных полей в этих структурах [5]. Это позволяет создать новые устройства управления, в том числе в интегральном исполнении. Использование тонких пленок проводников тока дает возможность достаточно просто создать управляемое магнитное поле в интегральных схемах.

Цель исследования: вывод аналитических соотношений для расчета напряженности магнитного поля, создаваемого широкими полосками тока с равномерной плотностью тока по сечению проводников, для наиболее часто встречающихся в устройствах микро– и наноэлектроники прямолинейных и кольцевых конфигураций (рис. 1, 2).

Моделирование и основные соотношения

Для расчета магнитного поля, создаваемого элементом проводника с током, используется закон Био–Савара–Лапласа:

.

Для прямолинейного проводника, показанного на рис. 1:

Рис. 1. К расчету магнитного поля, создаваемого тонким прямым проводником с током напряженность магнитного поля, создаваемого в любой точке прямолинейным тонким проводником конечной длины, определяется соотношением [1, 2]:

,

где R – кратчайшее расстояние от точки наблюдения до линии действия тока, α1 и α2 – углы, под которыми видны концы проводника из точки наблюдения.

Результаты исследования и их обсуждение

Рассмотрим тонкую полоску токопроводящего элемента шириной , по которому идет ток I в направлении оси 0z (рис. 2).

Каждый элемент тока тонкой полоски шириной dl с линейной плотностью тока j в полоске создает компоненту напряженности магнитного поля:

где  – линейная плотность тока, .

Из рис. 2 следует, что:

,

Отсюда: .

Проекции вектора напряженности магнитного поля на координатные оси x0y равны: ,

.

Компонента поля Hx определяется из:

или

Окончательно компонента магнитного поля определяется соотношением:

где  – ширина полосы.

Компонента магнитного поля Hy определяется из соотношения:

т.е.

В частном случае, если полоски с током считать бесконечно длинными, соотношения принимают вид:

Рассмотрим расчет магнитного поля на оси широкой, тонкой, кольцевой полоски с равномерной плотностью тока (рис. 3).

Магнитное поле в плоскости полоска определяется для равномерной плотности тока соотношением:

.

Полученные соотношения могут быть использованы и для расчета магнитного поля при неравномерном распределении плотности тока в поперечном сечении. В частности:

.

Например, при линейной функции распределения:

при

Рис. 3. Кольцевая полоска проводника с шириной полосы r2 – r1 имеем:

здесь постоянная С определяется из условия заданного значения тока, пропускаемого через полоску проводника:

.

Таким образом,

.

И магнитное поле в центре кольца определяется соотношением:

.

Рассмотрим напряженность магнитного поля, создаваемого на оси широкой кольцевой полоски с током на расстоянии h от ее плоскости. Результирующее поле в силу симметрии структуры будет иметь только x составляющую, компонента

Hy = 0

Рис. 4. Кольцевая полоска проводника с шириной R2 – R1

Компонента проекции магнитного поля на ось 0x равна:

,

где угол α определяется из прямоугольного треугольника (рис. 4):

,

Тогда компонента магнитного поля Hx может быть найдена из соотношения:

Интегрирование приводит к выражению для компоненты магнитного поля, перпендикулярной плоскости кольца:

.

Или, выражая через силу тока в проводнике, ищем эту компоненту в виде:

.

Заключение

Рассмотрена задача расчета магнитного поля, возбуждаемого широкими полосками проводника тока прямолинейной и круговой формы. Получены аналитические решения для нескольких конфигураций, на основе которых возможно создание планарных элементов микро- и наноразмеров для различных диапазонов частот. Конечная ширина полосок с током влияет на распределение поля, что необходимо учитывать при проектировании функциональных элементов электроники. Увеличение ширины полосок тока в схемах в интегральном исполнении позволяет существенно увеличить допустимый уровень сигналов за счет увеличение уровня рассеяния тепловой энергии.