Scientific journal
Scientific Review. Technical science
ISSN 2500-0799
ПИ №ФС77-57440

ANALYTICAL CALCULATION OF THE MAGNETIC INDUCTION IN THE CENTER OF PLANAR COILS

Glushchenko A.A. 1 Gluschenko A.G. 1 Gluschenko E.P. 1
1 Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics
Развитие технологии производства устройств телекоммуникации определило необходимость создания новой элементной базы микроустройств и устройств наноэлектроники, позволяющих реализовать преимущества интегральной технологи. Тенденция к уменьшению геометрических размеров элементов интегральных микросхем породила задачу создания электронных элементов планарной конфигурации. В частности, уменьшению габаритов индуктивностей и емкостей, которые бы при малых размерах имели приемлемые значения электромагнитных параметров. Оценки параметров планарных элементов из-за сингулярностей в расчетных формулах широко известных моделей иногда приводят к ошибочным результатам. Это потребовало создания физико-математических моделей расчёта индукции магнитного поля в центре планарных конструкций, которые были бы ориентированы на планарную технологию. В работе на основе уравнений закона Био-Савара-Лапласа получены аналитические соотношения для расчета магнитной индукции в центре наиболее известных и применяемых на практике планарных спиралей различной конфигурации (архимедова, гиперболическая, Ферма, Галилея, логарифмическая, квадратичная, системы концентрических окружностей, многоугольников и др.). Установлено, что использование плоских спиралей позволяет получить высокие значения индукции магнитного поля, что позволяет использовать их, в частности, в качестве высокотехнологичных элементов индуктивностей в различных частотных диапазонах микро- и наноэлектроники.
The development of the technology for the production of telecommunication devices has determined the need to create a new elemental base of microdevices and nanoelectronics devices, allowing to realize the advantages of integrated technology. The tendency to reduce the geometric dimensions of the elements of integrated circuits gave rise to the task of creating electronic elements of a planar configuration. In particular, reducing the dimensions of inductances and capacitors, which would have acceptable values of electromagnetic parameters at small sizes. Estimates of the parameters of planar elements due to singularities in the calculation formulas of widely known models sometimes lead to erroneous results. This required the creation of physical and mathematical models for calculating the magnetic field induction in the center of planar structures that would be oriented to planar technology. Based on the equations of the Bio-Savard-Laplace law, analytical relations are obtained for calculating magnetic induction at the center of the most famous and applied planar spirals of various configurations (Archimedean, hyperbolic, Fermat, Galileo, logarithmic, quadratic, systems of concentric circles, polygons, etc.). It has been established that the use of plane spirals makes it possible to obtain high values of magnetic field induction, which makes it possible to use them, in particular, as high-tech inductance elements in various frequency ranges of micro and nanoelectronics.
integrated circuits
planar spiral
magnetic induction

Уменьшение геометрических размеров элементов интегральных микросхем породило фундаментальную проблему создания планарных элементов, которые бы в малых размерах имела приемлемые значения электромагнитных параметров для построения сложных функциональных блоков, работающих в микро- и наноустройствах различных частотных диапазонов [1; 2].

Расчет элементов на базе уравнений электро- и магнитостатики часто приводит к неустранимым особенностям [3]. Этот недостаток теории потребовал создания новых физико-математических моделей [3; 4], которые были бы ориентированы на потребности планарной технологии.

Цель исследования: вывод аналитических соотношений для расчета магнитной индукции в центре наиболее распространенных планарных спиралей различной конфигурации используемых в микро- и наноэлектронике (рис. 1).

Материалы и методы исследования

Точный аналитический расчет магнитной индукции в планарных спиральных структурах высокой симметрии. Значение индукции магнитного поля В, которое создаётся ограниченными планарными спиралями в центре кольца, рассчитывается на основе закона Био-Савара-Лапласа [5] (рис. 2), где dB – элементарная магнитная индукция поля, создаваемая элементом тока Idl, μ0 = 4π?10-7 Гн/м – магнитная постоянная; dl – элементарный вектор длины, совпадающий по направлению с током (элемент проводника); I – сила тока; r – радиус-вектор, проведенный от элемента проводника к точке наблюдения, в которой определяется магнитная индукция (рис. 2).

gluh1.tif

Рис. 1. Спиральные планарные структуры с плавным изменением радиуса витков

gluh2.tif

Рис. 2. Индукция магнитного поля dB, создаваемого элементом тока Idl

Результаты исследования и их обсуждение

Рассмотрим структуры двух типов.

1. Спирали из концентрических окружностей и многоугольников (рис. 3).

gluh3.tif

Рис. 3. Структура многоугольника с током (a – треугольник, b – шестиугольник)

gluh4.tif

Рис. 4. Планарные спирали, сформированные круговыми витками (a) и многоугольниками (b, c, d)

Многие используемые на практике (рис. 1) конфигурации могут быть представлены как совокупность N кольцевых витков с током (рис. 4). Для расчета магнитной индукции в центре многоугольной структуры для одного витка с током, представленной на рис. 3, закон Био-Савара-Лапласа можно записать в скалярном виде [4; 5]:

gluh01.wmf (2)

Здесь R – радиус вписанной в многоугольник окружности, N – число сторон многоугольника, углы

gluh02.wmf, gluh03.wmf.

Подстановка в (2) дает аналитическое соотношение:

gluh04.wmf

которое удобно представить в виде:

gluh05.wmf (3)

Здесь первый сомножитель – это поле, создаваемое в центре кругового тока, а второй показывает разницу полей, создаваемых круговым током и многоугольником с числом сторон N. В случае прямоугольника со сторонами b, d (b ≠ d) магнитная индукция в центре определяется соотношением:

gluh06.wmf

На рис. 4 (b, c, d) показаны планарные многовитковые структуры (с N = 3, 4, 6), сформированные подобными многоугольниками с меняющимися размерами сторон. В этом случае магнитная индукция для частного случая трехвитковой структуры (рис. 4, b) с числом витков k = 3 определяется соотношением:

gluh07.wmf

Для структуры из K – виткового многоугольника с числом сторон N (рис. 4, b, c, d)

gluh08.wmf

где a – расстояние между витками, причем (Ka < R).

Для K – виткового прямоугольника с внешними сторонами b, d и расстоянием между витками a

gluh09.wmf

(Ka < b, d).

Для системы K – колец (рис. 4, а) магнитная индукция может быть рассчитана по формуле:

gluh10.wmf

2. Расчёт магнитного поля в центре спирали с плавно меняющимся радиусом (рис. 1) будем проводить, используя закон Био-Савара-Лапласа в полярной системе координат:

gluh11.wmf

Общая формула для расчёта индукции в начале координат для любых спиралей [6; 7], описываемых функцией r(φ), представленной в полярных координатах, имеет вид:

gluh12.wmf

Для обобщённых спиралей вида [6; 7], описываемых функцией gluh13.wmf

gluh14.wmf

В частности, для одной из наиболее часто встречающихся спиралей – спирали Архимеда (n = 1, r(φ) = aφ) имеем:

gluh15.wmf

Предположим, что начальное положение спирали Архимеда находится в точке r = r1 и имеет угол gluh16.wmf, a ≠ 0. Это позволяет устранить особенность, возникающую в начале координат. Для гиперболической спирали (r(φ) = aφ) имеем:

gluh17.wmf

Для логарифмической спирали, описываемой функцией r = aφ, a > 0.

gluh18.wmf

Для спирали Ферма, gluh19.wmf

gluh20.wmf

Спираль Литуус описывается функцией gluh21.wmf, тогда

gluh22.wmf

Спираль Галилея описывается функцией r = aφ2 – l, l > 0, тогда

gluh23.wmf

Если в спирали Галилея параметр l = 0, то мы имеем квадратичную спираль. Магнитная индукция в центре такой спирали описывается функцией:

gluh24.wmf

В таблице сведены формулы для расчета магнитной индукции в центре наиболее распространенных типов спиралей.

Магнитная индукция в центре различных спиралей

Вид спирали

Уравнение спирали r(φ)

Магнитная индукция B в центре спирали

Система K – концентрических колец, радиусами R, R-a, …, R-ka

gluh25.wmf

gluh26.wmf

Система K – концентрических правильных многоугольников

gluh27.wmf

gluh28.wmf

Обобщённая спираль

gluh29.wmf

gluh30.wmf

Спираль Архимеда

gluh31.wmf

Гиперболическая спираль

a/φ

gluh32.wmf

Квадратичная спираль

a/φ2

gluh33.wmf

Окончание таблицы

Вид спирали

Уравнение спирали r(φ)

Магнитная индукция B в центре спирали

Спираль Галилея

aφ2 – l, l > 0

gluh34.wmf

Логарифмическая спираль

aφ, a > 0

gluh35.wmf

Спираль Ферма

gluh36.wmf

gluh37.wmf

Спираль Литуус

gluh38.wmf

gluh39.wmf

Отметим, что используемым методом аналогичные соотношения могут быть получены для других типов плоских и объемных многовитковых спиралей на поверхности магнитодиэлектриков, в том числе с ферромагнитными или ферритовыми пленками с высокой магнитной проницаемостью μ >> 1 [8; 9].

Заключение

Получены аналитические решения задачи расчета индукции магнитного поля в центре спиралей наиболее распространенных конфигураций, на основе которых возможно создание планарных элементов микро- и наноустройств. Увеличение числа витков в спирали по сравнению с одиночным витком тока позволяет увеличить индукцию магнитного поля в центре спиралей, что позволяет создать на их основе индуктивности микро- и нанотехники. Дополнительное нанесение токопроводящих спиралей на поверхности магнитодиэлектриков с ферромагнитными или ферритовыми пленками с высокой магнитной проницаемостью позволяет существенно увеличить магнитную индукцию в центре спиралей и создавать на их основе плоские элементы с высокой индуктивностью.