Научный журнал
Научное обозрение. Технические науки
ISSN 2500-0799
ПИ №ФС77-57440

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ В МЕТОДАХ МОДЕЛИРОВАНИЯ И КОНСТРУИРОВАНИЯ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Вертинская Н.Д. 1
1 Иркутский государственный технический университет
Решение задач конструирования поверхностей в начертательной геометрии реализуется путем отображения ее, в частном случае, на плоскость, где получаются, в общем случае, многозначные соответствия, что затрудняет исследования свойств поверхности, инцидентных ей линий, особых точек и т. д. Наиболее простейшими моделями являются центральные взаимно однозначные соответствия. Поэтому рассмотрим ряд вопросов, связанных с решением прямой задачи начертательной геометрии: данный оригинал (кривую линию, поверхность) подбором соответствующего аппарата проецирования отобразить в простейшую модель в виде взаимно однозначного соответствия.
конструирование поверхностей
взаимно однозначное соответствие
кривая линия
криволинейное проецирование.
1. Вальков К.И. и др. К вопросу моделирования пространства с различной метрикой // Вопросы прикладной математики и геометрического моделирования. – Л.: ЛИСИ, 1968. – С. 61-66.
2. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей. – М.: Машиностроение, 1987. – С. 188.
3. Sturm R. Die Gebilde ersten und zweiten Grandes der Linien geometrie… Belandlung. Teil 1. – Leipzig, 1892. – Р. 366.
4. Иванов Г.С. К вопросу моделирования алгебраических поверхностей нормальными кремоновыми инволюциями. В кн.: Научные труды МЛТИ. – М., 1973. – № 54. – С. 120.
5. Обухова В.С. Место осевого проецирования в начертательной геометрии: труды Рижской научно-технической конференции. – Рига, 1960. – С. 92.
6. Кантор Г. Учение о множествах. – СПб.: Образование, 1914. – 189 с.
7. Клейн Ф. Неевклидова геометрия. – М.-Л.: ОНТИ – НКТП – СССР, 1936. – 355 с.
8. Андреев К.А. Аналитическая геометрия. – М., 1905. – 610 с.
9. Somruerville D.M.Y. An introduction to the geometry of n-dimensions. – London, 1929.
10. Вертинская Н.Д. О некоторых геометрических аспектах интерпретации однородных координат // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 5. – С. 133-137.
11. Вертинская Н.Д. Задачи геометрического моделирования технологических процессов: научно-методическое пособие. – М., 2015. – С. 131.
12. Глаголев Н.А. Проективная геометрия. – М.: Высшая школа, 1962. – 344 с.
SOLVING PROBLEMS IN THE METHODS OF MODELING AND DESIGN OF DESCRIPTIVE GEOMETRY

Vertinskaya N.D. 1
1 Irkutsk State Technical University

Abstract:
Solution design objectives surfaces in descriptive geometry is realized by displaying it in a particular case, on the plane, which are obtained, in general, multi-valued conformity, making it difficult to study the properties of the surface of the incident lines her singular points, and so on. D. The simplest model is the central one-to-one correspondences. Therefore, we consider a number of issues related to the solution of the direct problem of descriptive geometry: the original (curved line, surface) corresponding to the selection of the projection display device in the simplest model in the form of a one-to-one correspondence.

Keywords:
design surfaces
one-to-one correspondence
curve
curved projection.

I. Моделирование кривых и поверхностей

В начертательной геометрии моделирование поверхности решается прямой задачей: по данным поверхности и аппарату проецирования получить модель поверхности на плоскости, а решение обратной задачи – конструирование поверхности решается следующим образом: по данным модели и аппарату проецирования сконструировать поверхность. При решении прямой и обратной задач вид и тип модели и поверхности зависит от взаимного расположения аппарата проецирования относительно поверхности или модели.

Так как свойства поверхности во многом определяются свойствами ее линий, поэтому моделирование и конструирование кривых представляет важную компоненту сложных задач моделирования и конструирования поверхностей.

В методе двух изображений, при проецировании двумя пучками прямых, только плоскость и поверхности моноидального типа Σn с двумя и более (n-1) – кратными точками, в две из которых помещаются центры проецирования, моделируются на плоскости изображений взаимно однозначными соответствиями. Остальные поверхности моделируются на плоскости проекций многозначными соответствиями. Многозначные соответствия сложны, значит изучение свойств поверхностей, инцидентных ей линий, особых точек и т.д. затруднено. Поэтому в начертательной геометрии возникает актуальная задача проецирования подбором аппарата отображения получать в качестве модели поверхности или кривых взаимно однозначные соответствия. При конструировании поверхностей на уровне заданных моделей можно прогнозировать их тип и вид, а при конструировании двух поверхностей прогнозировать тип их пересечения, касание определенного порядка гладкости.

I. 1. Анализ методов изображений в начертательной геометрии

Одна из главных задач начертательной геометрии заключается в исследовании взаимосвязи характеристик моделируемого пространства, имеющего ту или иную размерность и структуру, модели, аппарата отображения и носителя моделей.

При геометрическом моделировании в n-мерном пространстве размерность оригинала, характеристики аппарата отображения и изображения связаны с размерностью операционного пространства, в качестве которого обычно принимают расширенное евклидово n-мерное пространство Еn.

Оригиналом в Еn может быть линейное или нелинейной подпространство размерности k, Kk , где 0£ k < n-1.

В качестве основного элемента пространства рассматривают линейные или нелинейные подпространства missing image file размерности missing image file, где missing image file

Аппарат отображения может состоять из проецирующих линейных или нелинейных многообразий Mm размерности missing image file где missing image file

Изображение строится на носители модели, являющимся линейным или нелинейным подпространством missing image file размерности missing image fileгде missing image file

Моделью основного элемента оригинала может являться линейное или нелинейное подпространство missing image file размерности missing image file где missing image file

Впредь в качестве операционного пространства будем рассматривать трехмерное пространство E3 в котором оригиналом может быть поверхность (плоскость), кривая (прямая), точка, то есть missing image file а основным элементом оригинала может выступать кривая линия (прямая) или точка, то есть t = 0,1.

В качестве аппарата проецирования можно использовать многообразия поверхностей (плоскостей), кривых линий (прямых), то есть missing image file Носителем моделей может быть трехмерное пространство, поверхность (плоскость), кривая линия (прямая), то есть missing image file

Основной элемент может моделироваться плоской кривой линией (циклография, одноосевое проецирование), парами, тройками и т. д. точками, значит missing image file

Моделью оригинала в зависимости от аппарата проецирования может быть линейное или нелинейное многообразие точек, линий.

На практике размерность missing image file отображаемого пространства больше размерности носителя модели. Однако есть примеры, когда пространство меньшей размерности отображается на пространство большей размерности [1].

В процессе отображения участвуют:

- оригинал,

- аппарат отображения,

- модель (изображение),

- носитель модели.

В начертательной геометрии трехмерного пространства рассматриваются оригиналы, образованные или из множества точек, или из множества прямых. Отсюда возникают два подхода моделирования:

- метод двух изображений,

- метод двух следов.

Метод двух следов применяется при моделировании линейчатых пространств, где основным элементом является прямая. На практике распространение получил метод двух изображений, который применяется при моделировании точечного пространства. В результате применения классических методов двух изображений и двух следов модели получаются линейными.

Построение моделей точечного пространства начинается естественно, с отображения точки. Ее можно изображать либо каким-то одним геометрическим элементом (например, в циклографии точка пространства моделируется кривой линией на плоскости изображений), либо двумя (например, в методе Монжа – парой точек), тремя и т.д. геометрическими элементами. Когда точка моделируется одним геометрическим элементом, модель называется моно моделью, когда двумя – бинарной моделью, тремя – тернарной, четырьмя – кватернарной и т.д. В результате моделирования элементам оригинала сопоставляются элементы модели. В зависимости от сопоставления различают следующие способы моделирования:

- аксиоматический,

- конструктивный,

- аналитический.

Аксиоматический способ моделирования основан на параметрическом исчислении. При аксиоматическом способе моделирования оригинал не связан непосредственно с моделью. Модель, получаемая таким способом, называется независимой.

При конструктивном способе моделирования оригинал и модель связаны проецирующим аппаратом, модели, получаемые таким конструктивным способом, называются зависимыми. В основе всякого конструктивного способа отображения ряда пространственных объектов на плоскость лежит определенная теория преобразования плоскости проекций, позволяющая изучать свойства и расположения пространственных объектов по полученным моделям. Если линейные методы отображения основаны в общем случае на теории проективных преобразований, то нелинейные методы – главным образом на теории нелинейных преобразований, которые называются кремоновыми многозначными соответствиями [2]. Наличие конструктивной взаимосвязи пространства и его модели позволяет изучать свойства оригиналов по их моделях. Вся совокупность моделей, подлежащих систематизации, может дать цельную картину взаимосвязей между моделями, упорядочить имеющиеся методы изображений и позволят осуществить направленный поиск моделей с наперед заданными свойствами для тех или иных областей приложений.

При аналитическом способе моделирования оригинал и модель связаны аналитической зависимостью. Результаты такого моделирования являются числа, уравнения и пр. Аналитический способ моделирования широко применяется в математическом моделировании.

В начертательной геометрии применяются аксиоматический и конструктивные способы моделирования.

Наряду с линейными моделями существуют нелинейные модели, которые получаются:

- при замене центрального проецирования проецированием конгруэнциями или комплексами кривых (прямых);

- при проецировании поверхностями (плоскостями);

- при замене плоскости проекций поверхностями или кривыми.

I. 2. Систематизация аппаратов отображения и носителей моделей

До середины 18-го века проецирование оригинала выполнялось одной или двумя связками прямых на одну плоскость и редко на сферу и цилиндрическую поверхность (купольная и панорамные перспективы). Развитие науки и техники потребовало исследование проецирования объектов любой размерности и структуры на различные носители, для чего потребовалось использовать в качестве аппарата проецирования геометрические многообразия различных размерностей. Рассмотрим детально эти вопросы для трехмерного пространства и дадим систематизации аппаратов проецирования и носителей моделей.

В качестве аппарата отображения в конструктивном способе проецирования целесообразно использовать проецирующие многообразия, позволяющие через точку пространства проводить лишь один элемент многообразия, или другими словами, произвольная точка пространства выделяет из данного проецирующего многообразия только один элемент многообразия.

Подсчетом параметров, исходя из требования инцидентности произвольной точке пространства конечного числа проецирующих элементов, можно показать, что в качестве проецирующих многообразий для моделирования трехмерного точечного пространства можно использовать:

- одномерные многообразия (кривые линии, в частном случае, прямые);

- двумерные многообразия (поверхности, в частном случае, плоскости).

Так, например, аппарат отображения, используемый в методе двух следов и двух изображений, состоят из связок прямых, то есть двупараметрического множества прямых пространства, которое позволяет точке пространства выделить из связки прямых только одну прямую.

I. 3. Многообразие прямых

В пространстве E3 прямых ∞4. Подмножества этого многообразия суть ∞1,∞2, ∞3, которые соответственно называются:

- однопараметрическими,

- двупараметрическими,

- трехпараметрическими множествами прямых.

Однопараметрические множества прямых образуют:

- семейство касательных прямых к плоской кривой (рис. 1),

- пучок прямых (множество прямых плоскости, инцидентных одной точке) (рис. 2),

- образующие линейчатой поверхности.

missing image file

Рис. 1

missing image file

Рис. 2

Двупараметрическим множеством прямых называется конгруэнция прямых и обозначается Kг(n, k).

Трехпараметрическим множеством прямых называется комплекс Km(n) прямых.

Для отображения точечного трехмерного пространства необходимы двупараметрические и трехпараметрические одномерные многообразия.

В самом общем случае конгруэнцию прямых образуют общие касательные прямые к двум поверхностям или двойные касательные прямые к одной поверхности. Эти поверхности называются фокальными поверхностями, а точки касания прямых конгруэнции с ними называют фокусами этих прямых.

Если каждый луч системы касается фокальной поверхности дважды; в соответствии с этим различаются две «полости» фокальной поверхности.

Если фокальные поверхности заменить пространственными кривыми линиями missing image file и missing image file, то конгруэнция прямых будет состоять из прямых missing image file, пересекающих обе фокальные кривые линии, или из бисекант missing image file одной пространственной линии missing image file(рис. 3).

missing image file

Рис. 3

Известно [3], что существуют различные способы задания конгруэнции прямых. Конгруэнции прямых Кг (missing image file характеризуются порядком missing image file и классом missing image file. Порядок missing image file конгруэнции равен числу прямых конгруэнций, проходящих через произвольную точку пространства. Класс k конгруэнции равен числу прямых конгруэнций, принадлежащих произвольной плоскости пространства.

Из многих способов задания конгруэнций прямых наиболее подходящим применительно к моделированию поверхностей является способ, в котором конгруэнция прямых определяется как множество прямых, пересекающих данные missing image file и missing image fileкривые линии (рис. 4).

missing image file

Рис. 4

Если кривые линии missing image file и b алгебраические соответственно порядков n1 и n2, не имеющие общих точек, то они определяют дуальную конгруэнцию Kг(n, n) прямых, у которой порядок и класс равны между собой, то есть n = n1 × n2 = k.

В качестве аппарата проецирования целесообразно использовать конгруэнции прямых первого порядка Kг (1, k), чтобы через точку пространства проходила единственная проецирующая прямая данной конгруэнции. Конгруэнция прямых Kг(1,k), задается фокальной прямой missing image file и пространственной фокальной кривой линией bk порядка k, имеющей с прямой missing image file (k-1) – фиксированных общих точек (рис. 5).

missing image file

Рис. 5

Частным случаем конгруэнции прямых Kг(1, k) является конгруэнция прямых первого класса Kг (1, 1), которая может быть гиперболической, эллиптической и параболической. Эти конгруэнции получаются, когда фокальными линиями конгруэнции прямых являются прямыми:

- если прямые фокальные конгруэнции являются скрещивающимися действительными прямыми, то конгруэнция прямых будет гиперболической (рис. 6);

missing image file

Рис. 6

- если фокальные прямые конгруэнции мнимые прямые – эллиптической;

- если фокальные прямые совпадут, то конгруэнция прямых будет параболической. В пределе, когда фокальные прямые пересекутся, конгруэнция Kг(1,1) прямых распадется на связку Кг (1,0) (множество прямых пространства, инцидентных общей точке) прямых (рис. 7) и плоское поле прямых Кг (0,1) (рис.8).

Кг (1,1)=Кг (1,0)+Кг (0,1).

missing image file

Рис. 7

missing image file

Рис. 8

Как известно, через произвольную точку P пространства E3проходит ∞1 прямых данного комплекса. Они образуют конус, который называется конусом комплекса с вершиной P. Каждый комплекс характеризуется степенью. Степень комплекса определяется порядком конической поверхности, выделяемой из комплекса произвольной точкой P (рис. 9).

missing image file

Рис. 9

Из ∞4 множества прямых пространства можно выделить комплекс прямых многими способами:

- множество прямых, пересекающих пространственную кривую линию missing image file. Частным случаем такого комплекса прямых является комплекс Kм (1), когда missing image file прямая. Множество прямых такого типа образуют трехпараметрическое множество прямых, так как точек на кривой ∞1, а каждая точка выделяет в пространстве связку (∞ 2) прямых. Значит, всего прямых комплекса будет ∞3;

- множество прямых, касающихся поверхности;

- множество прямых, соединяющих соответственные точки кремонова преобразования пространства (ассоциированный комплекс преобразования), [4].

I. 3. Многообразие кривых

Многообразия кривых линий трехмерного пространства весьма обширны и не подлежат, по-видимому, строгой систематизации.

Нас интересуют лишь двумерные многообразия плоских алгебраических кривых линий, которые будут нами использованы в качестве проецирующих линий обобщенного аппарата проецирования, то здесь приведем лишь примеры конгруэнций и комплексов кривых линий:

1. Семейство окружностей, инцидентных пучку (missing image file) плоскостей αi. Инцидентных точке Ai и точке Ai, получаемой как пересечение пространственной кривой линии missing image file порядка n с плоскостью a i пучка плоскостей (missing image file) . Для кривой линии missing image file порядка n ось missing image file пучка плоскостей missing image file является (n-1) – секантой. То есть кривая линия missing image fileпорядка n, будет иметь (n-1) пересечений с прямой missing image file и только одно пересечение с плоскостью αi пучка плоскостей. Такое семейство окружностей двупараметрично: окружностей, проходящих через две фиксированные точки Ai и P – ∞1, а плоскостей в пучке (missing image file) – ∞1, значит ∞1 × ∞1 = ∞2, (рис. 10).

missing image file

Рис. 10

2. Семейство коник, принадлежащих пучку (missing image file) плоскостей и пересекающих в двух точках каждую из пространственных кривых линий missing image file и bn порядков n , для которых ось missing image file пучка плоскостей является (n-2) – секантой, таких коник будет – ∞2, плоскоcтей в пучке (missing image file) – ∞1, коник, инцидентных 4-ем фиксированным точкам A,B,C,D – ∞1 (рис. 11) и т. д. В плоскости missing image file лежит коника missing image file.

missing image file

Рис. 11

Как говорилось выше, коник на плоскости ∞5, то есть коника определяется на плоскости, например, 5-ю точками, окружности – множество коник плоскости инцидентных двум общим циклическим точкам, поэтому окружностей на плоскости – ∞3, то есть окружность на плоскости можно определить, например, 3-мя точками, или центром окружности – ∞2 и величиной радиуса окружности – ∞1 и т.д.

В качестве проецирующих линий можно использовать не только кривые линии второго порядка, но и плоские кривые линии высших порядков. Кривых линий 3-го порядка на плоскости ∞9, кривых линий 4-го порядка – ∞14, кривых линий n-го порядка на плоскости – Doc1.pdf параметрическое множество. Закрепив в плоскости пучка (missing image file) плоскостей соответственно 8, 13, Doc1.pdf – точек, будем получать ∞1 кривых линий соответственно третьего, четвертого, n-го порядков, то множество этих кривых в пучке плоскостей будет двупараметрическим.

Элементами комплекса линий могут быть также плоские кривые линии. Например, семейство окружностей, принадлежащих пучку (missing image file) плоскостей и проходящих через общую точку P ∈ missing image file (рис.12). Это семейство окружностей трехпараметрическое множество, так как на плоскости окружностей, инцидентных одной точке P – ∞2 , плоскостей в пучке (missing image file) – ∞1, и т. д. Аналогично рассуждая, можно показать принципиальную возможность применения в качестве аппарата проецирования пространственных кривых линий. Например, конгруэнций пространственных кривых линий третьего порядка (нормкривых) можно задать пятью точками. Нормкривая однозначно определяется 6-ю точками (12 параметров). Чтобы получить двупараметрическое множество нормкривых, необходимо закрепить 10 параметров, например, 5 точек на какой-либо поверхности и т.д.

missing image file

Рис. 12

I. 4. Проецирующие плоскости и поверхности

Исчислением параметров можно показать, что множество проецирующих плоскостей и поверхностей при моделировании точечного пространства могут быть одно -, дву- и трехпараметрическими. В первом случае поверхность (плоскость) является проецирующей для всех своих точек, например, известное «осевое проецирование» [5]. Во втором случае каждая проецирующая поверхность является проецирующей для каждых ∞1 своих точек, например, точек принадлежащих одной образующей. В третьем случае через каждую точку пространства проходит своя проецирующая поверхность, след которой на плоскости проекций будет изображением этой точки. Очевидно, по этой схеме получаются циклографические модели.

Как в случае проецирования многообразиями кривых линий (прямых), здесь возможны многочисленные варианты задания проецирующих поверхностей (плоскостей). Например, однопараметрическое множество (пучок) плоскостей составляют:

- множество плоскостей missing image file, инцидентных фиксированной прямой missing image file, которая называется осью пучка плоскостей. Она пересекает некоторую плоскость missing image file, не принадлежащую пучку missing image file плоскостей, в точке missing image file, а каждая плоскость пучка missing image file плоскостей пересекает плоскость missing image file по прямой, которые в плоскости П образуют пучок missing image file прямых missing image file (рис. 13);

- множество плоскостей, касающихся, в общем случае, торсовой поверхности.

missing image file

Рис. 13

Приведем также примеры пучков поверхностей:

- множество сфер, инцидентных фиксированной окружности;

- множество сфер, пересекающих прямую в двух фиксированных точках и касающихся данной плоскости и т.д.

Указанные множества являются однопараметрическими. Так в первом случае множество плоскостей, инцидентных прямой, имеют один свободный параметр, т.е. их – ∞1. Во втором случае сфер в пространстве ∞4 условие инцидентности фиксированной окружности требует затраты трех параметров, значит, у всех сфер данного пучка остается один свободный параметр. В третьем случае, пересечение множества сфер с прямой в двух фиксированных точках закрепляет два параметра, касание плоскости сферами – один параметр, остается свободным один параметр.

Примерами двупараметрического семейства поверхностей является связка плоскостей (рис. 14), выполненный на основе рис. 7 для демонстрации связи связки (S) прямых и связки (S) плоскостей пространства.

Т. к. пересечение плоскости, например missing image file, не проходящей через точку S, со связкой (S) прямых получаем плоское поле точек, а пересечение ее со связкой (S) плоскостей получаем плоское поле прямых; множество плоскостей, касающихся не развертывающейся поверхности и т. д.

Двупараметрические семейства поверхностей имеют два свободных параметра. Например, множество сфер, проходящих через две фиксированные точки, или семейство сфер, касающихся плоскости и поверхности и т.д.

missing image file

Рис. 14

В качестве примеров трехпараметрических множеств поверхностей можно привести:

- множество сфер, инцидентных фиксированной точке;

- множество сфер, касающихся плоскости и т. д.

Таким образом, все вышеизложенное, связанное с систематизацией проецирующих многообразий, можно представить в виде схемы (рис. 15). Заметим, что способов задания проецирующих множеств, отличающихся своими характеристиками бесконечное множество.

missing image file

Рис. 15

Выбор тех или иных проецирующих множеств зависит от особенностей решаемых теоретических и прикладных задач. Кроме того, следует отметить, что в начертательной геометрии для моделирования применяется только связки линий, а остальные проецирующие многообразия ждут своих применений.

Систематизация носителей моделей

Носителями моделей, как раньше указывалось, в E3могут быть:

- кривая линия (прямая);

- поверхность (плоскость);

- трехмерное пространство.

Прямая как носитель модели применяется в аналитической геометрии, где оси координат являются носителями моделей, а проецирующим аппаратом являются плоскости, параллельные соответствующим координатным плоскостям (рис. 16).

Кривая линия как носитель модели применяется в дифференциальной геометрии (криволинейные координаты на поверхности). В начертательной геометрии прямая как носитель модели используется, например, в случае осевого проецирования.

Если за основной элемент пространства (оригинал) принять плоскость, то она в пересечении с фиксированной пространственной кривой линией missing image file определяет систему точек. Полученная система точек на кривой линии а n определяет положение моделируемой плоскости в пространстве. При проецировании таких систем точек на плоскость missing image file появляется возможность отобразить множество плоскостей пространства на систему точек, принадлежащих некоторой плоской кривой missing image file(рис.17).

missing image file

 

Рис. 16

missing image file

Рис. 17

Плоскость как носитель модели широко используется в инженерной графике, например, в методе двух следов и двух изображений. Кроме плоскости в качестве носителей моделей применяются поверхности: полусфера, полуцилиндр, конус и другие алгебраические поверхности высших порядков. Интересное практическое применение полуцилиндрических и полусферических носителей моделей нашли при построении оптических изображений (кино, телевидение), в купольной и панорамной перспективе.

Рассмотрим примеры получения различных моделей одного и того же оригинала с различными аппаратами проецирования и на различных носителях моделей. В качестве оригинала возьмем точку пространства: в качестве аппарата проецирования связку прямых, точку будем проецировать на различные носители моделей и в качестве модели точки будем иметь:

- на плоскости – точку;

- на квадрике (поверхности второго порядка) – две точки;

- на торе – четыре точки;

аппарат проецирования – связка плоскостей:

- на плоскости – прямая;

- на квадрике – коника (кривая 2-го порядка);

- на торе – плоская кривая линия 4-го порядка;

аппарат проецирования – связка квадрик:

- на плоскости – коника;

- на квадрике – пространственная кривая линия 4-го порядка;

- на торе – пространственная кривая линия 8-го порядка и т.д.

В качестве оригинала возьмем в пространстве прямую, в качестве аппарата проецирования – связку прямых:

- на плоскости – пара точек;

- на квадрике – четыре точки;

- на торе – восемь точек;

в качестве аппарата проецирования – связка плоскостей:

- на плоскости – пара прямых;

- на квадрике – пара коник;

- на торе – пара плоских кривых 4-го порядка (потому, что прямая в пространстве определяется двумя точками, а две точки выделяют из связок аппаратов проецирования по два проецирующих элементов);

в качестве аппарата проецирования – связка квадратик:

- на плоскости – пара коник;

- на квадрике – пара пространственных кривых 4-го порядка;

- на торе – пара пространственных кривых 8-го порядка и т.д.

На приведенных примерах ярко видно влияние взаимного расположения аппарата проецирования и носителя модели на полученную модель. Если аппарат проецирования – связка квадрик, носитель модели – тор, то модель – пара пространственные кривые 8-го порядка которые могут распадаться на: пространственные кривые 6-го порядка и коники, на пространственные кривые 5-го порядка и на пространственные кривые 3-го порядка, на две пространственные кривые 4-го порядка, на четыре коники, которые могут совпадать. Если в качестве аппарата проецирования взять связку квадрик (линейчатых поверхностей) и носителем тоже линейчатую квадрику, то модель оригинала может распасться на несколько прямых и т. д.

Развитие начертательной геометрии тесно связано с научно-техническим прогрессом. До последнего времени изображение любого объекта выполнялось на плоскости, то есть трехмерный объект изображался на двухмерной плоскости. При современном развитии техники носителем моделей может быть и трехмерное пространство. Примером тому служит экран цветного телевизора, голографические и спектрографические изображения.

Применение различных носителей моделей вызвано необходимостью решения многочисленных сложных прикладных и теоретических задач.

Из приведенного выше анализа аппаратов проецирования и носителей моделей следует существование тесной взаимосвязи их характеристик. При этом различные модели оригиналов получаются всевозможными сочетаниями способов проецирования на различных носителях. Выше изложенная систематизация аппаратов проецирования и носителей моделей позволяет целенаправленно вести поиск необходимых аппаратов проецирования для получения изображений (моделей) пространственных форм, обладающих заданными свойствами.

Особо остро вопрос подбора аппарата проецирования встает при моделировании поверхностей в методе двух изображений, когда в качестве модели требуется получить взаимно однозначное соответствие.

I. 5. Моделирование основных геометрических форм в классических методах двух изображений и двух следов

Начертательная геометрия решает две задачи: прямую и обратную. При решении прямой задачи начертательной геометрии, т. е. моделировании, предметом изучения являются не реальные представители живой природы или объектов неорганического мира, а их условные модели – геометрические фигуры. Большинство геометрических фигур имеют три измерения. Для отображения трехмерных образов на плоскость необходимо иметь способы, позволяющие преобразовывать трехмерную фигуру (оригинал) в однозначно соответствующую ей модель, имеющую два измерения. В связи с этим возникает необходимость в создании науки, перебрасывающей мост между трехмерным пространством En и плоскостью чертежа E2. Наведение мостов между E3 и E2 осуществляется в начертательной геометрии с помощью метода проецирования, составляющего теоретическую основу начертательной геометрии. Как говорилось выше, в начертательной геометрии в качестве аппарата проецирования, в основном, используются связки прямых. Так, например, при моделировании точки на плоскости P через точку A (оригинал) проходит один луч связки (S) прямых, который отобразит точку A на плоскости P в точку ? (модель) (рис.18).

missing image file

Рис. 18

При этом имеем, что одной точке пространства A ставится в соответствие одна точка А′ плоскости P, но обратное утверждение не имеет смысла, так как одной точке А′ плоскости P соответствует множество точек проецирующего луча SА′ Это несоответствие возникает из-за разности мерностей проецирующих множеств, так как множество точек A пространства E3 – ∞ 3, а множество точек А′ плоскости P – ∞2. Одна проекция точки на плоскости не только не позволяет определить положение ее оригинала, но и не позволяет судить по одной проекции о форме, размерах пространственных геометрических фигур.

Таким образом, возникает необходимость проецировать точку пространства из двух центров двумя связками прямых (S1) и (S2) для получения взаимно однозначного соответствия между оригиналом и моделью (рис.19).

На этом же рис. 19 покажем решение обратной задачи, т. е. по данной модели точки построить ее оригинал. Дана модель точки С - С1, С2 на прямой missing image file пучка missing image file прямых и аппарат проецирования – две связки S2 и S2 прямых, которые определяют прямую m. Прямые m ∩ c определяют плоскость Δ, в которой будем конструировать точку С для этого из пучка missing image file прямых точка С1 выделит единственную прямую, а точка С2 из пучка missing image file прямых выделит единственную прямую, которые находясь в плоскости missing image file, пересекутся в одной точке С. Так получается оригинал точки по ее модели.

missing image file

Рис. 19

Признак обратимости чертежа (изображения): изображение (чертеж) являются обратимым, если равны мерности оригинала и изображения. Например, в методе двух изображений – основной элемент пространства – точка, моделируется на плоскости изображений парой точек, лежащих на линии связи. Так как точка A пространства из связки missing image file прямых выделит единственную прямую, которая ее спроецирует на плоскость П в точку A1 на что будет затрачено ∞2. Точка A1 из пучка missing image fileпрямых плоскости missing image file единственную прямую missing image file. Точка A из связки missing image file прямых выделит единственную прямую, которая ее спроецирует на плоскость missing image file в точку A2 на прямую missing image file на что будет затрачено missing image file. Точек в пространстве E3 – ∞ 3, точек на плоскости – ∞ 2, точек на луче А1A2 – ∞ 1, значит для определения пары точек на плоскости P потребуется затратить мерность ∞ 3, тогда мерность модели и оригинала будут равными. При моделировании точечных множеств возникают некоторые особенности, которые позволяют открывать особенности оригиналов по их моделям. Рассмотрим пример. Аппарат проецирования возьмем связки missing image fileи missing image fileпрямых, которые определяют в пространстве прямую missing image file, пересекающую плоскость missing image file в точке missing image file и носитель модели плоскость missing image file. Точку C пространства проецируем из центров missing image file и missing image file в точки C1 и C2 на плоскость missing image file (рис. 20).

Если в качестве оригинала будет выступать тело, то оно пучком m плоскостей будет расслаиваться на сечения, которые из центров (S1) и (S2) проецирования будут моделироваться в пучке missing image file прямых на плоскости П.

На оригинале точки могут быть: просто точка (как, например, точка С) двойная точка (как, например, точка missing image file), конкурирующие точки (как, например, точки missing image file и missing image file).

missing image file

Рис. 20

Проекция точек А и В из центра проецирования missing image file на носитель модели прямую missing image file проецируются в конкурирующие точки missing image file, которые образуют двойную точку, а из центра проецирования missing image file проецируются в пару точек missing image file. Двойная точка missing image file моделируется из центров проецирования missing image fileна носителе модели missing image file двойными точками missing image file и missing image file. Из вышеизложенного видим, что одна проекция точек не определяет их положение на оригинале. Если нам будут даны только проекции missing image file и missing image file мы не сможем сделать заключение об оригиналах точек А, В и С, D, они могут быть на оригинале как двойная точка так и как конкурирующими.

Геометрии бывают различные: аффинная геометрия, проективная геометрия, и т. д.

В аффинной геометрии прямая продолжается в разные стороны далеко, далеко, плоскость продолжается в любую сторону то же далеко, далеко. Аффинная плоскость двусторонняя и прямая на аффинной плоскости то же двусторонняя. На аффинной плоскости прямые пересекаются или не пересекаются, если они параллельные. Поэтому на аффинной плоскости не возможно взаимно однозначное соответствие, которое заключается в следующем: прямая на плоскости определяется двумя точками, но точка не определяется двумя прямыми, если они параллельные. Для устранения этого недостатка, договорились [6, 7, 8, 9 и др.], что параллельные прямые пересекаются в несобственной точке, введенной на аффинной плоскости и превратившей аффинную плоскость в проективную плоскость. На проективной плоскости возможно взаимно однозначное соответствие, т. к. прямая определяется двумя точками, а точка определяется в пересечении двух прямых. Введение несобственной точки на прямой оставило непонятным вопрос ее образования. Если рассматривать прямую на аффинной плоскости и ее организовать как числовую ось, т. е. на ней задать начало отсчета, масштаб и положительное направление, то двигаясь по ней вправо числа будут увеличиваться до missing image file, при движении влево числа будут уменьшаться до missing image file. Когда мы организуем проективную прямую, то прямая становить замкнутой. Если замыкание происходит точками missing image file и missing image file встык, то точки будут две, значит замыкание будет внахлест, т. е. точки missing image file и missing image file образуют двойную точку на модели и точки missing image file иmissing image file могут быть только конкурирующими на оригинале. Проективная плоскость с точки зрения начертательной геометрии представляет одну проекцию ее оригинала и поэтому точки missing image file и missing image file на оригинале могут быть только конкурирующими. Оригинал проективной прямой можно представить как виток цилиндрической винтовой линии missing image file[10, 11], (рис. 21) проекция которой на плоскость missing image file является проективной прямой missing image file.

missing image file

Рис. 21

Все прямые проективной плоскости замыкаются на несобственной прямой, как «собачкой» на замке молнии замыкают проекцию проективную плоскость, делая ее односторонней. Оригинал проективной прямой – двусторонняя, оригинал проективной плоскости виток цилиндрической винтовой поверхности – двусторонняя.

Конкретизируем здесь вышеизложенное на примерах моделирования основных геометрических образов пространства E3 в методах двух изображения и двух следов. Аппарат метода двух изображений состоит, в общем случае, из плоскости P – основной плоскости проекций, двух вспомогательных плоскостей Π1 и Π2 и трех центров проецирования :S – основного, S1 и S2 – вспомогательных центров. Центры S, S1, S2 – коллинейны некоторой прямой m, пересекающей плоскость проекций P в исключенной точке F0. Произвольная точка A пространства изображается на плоскости P двумя точками A1 и A2 коллинейными с точкой F0. Сначала точка A проецируется из вспомогательных центров S1, S2 на вспомогательные плоскости Π1, Π2 соответственно в точки ?1, ?2, которые перепроецируются из основного центра S на плоскость P во вторичные проекции A1 и A2 (рис. 22).

missing image file

Так как прямая missing image file пространства определяется двумя ее точками A, B, то она на плоскости P будет изображаться двумя a1(A1, B1), a2(A2, B2) прямыми, соединяющими одноименные проекции точек. Плоскости в пространстве определяется тремя неколлинейными точками, например A, B, C (Σ (A, B, C)). Вторичные проекции Σ1 и Σ2 полей плоскости находятся в соответствии T11 гомологии, центром которой будет исключенная точка F0, осью гомологии будет двойная прямая d1= d2 полученная как проекция линии пересечения плоскости S с тождественной плоскостью F (ΣÇF = d). Прямая missing image file в пространстве определяет пучок плоскостей, среди которых есть плоскость, точки которой изображаются на плоскости изображения P совпавшими С1 = С2 вторичными проекциями. Такая плоскость F (S, l) называется тождественной. Множество всех плоскостей пространства будут моделироваться на плоскости изображения P гомологиями, имеющими общий центр точку F0, но различные оси гомологии. Из проективной геометрии [12] известно, между точками данной плоскости пространства и вспомогательными плоскостями Π1 и Π2 устанавливается перспективно коллинеарное соответствие. На плоскости проекций P имеем соответственные коллинеарные поля, в этом случае коллинеация называется гомологией, которая задается центром гомологии S (F0), осью гомологии missing image file (d1=d2) и парой соответственных точек – (A1, A2). Гомологий на плоскости – ∞ 5, так как на гомологии – модели плоскостей пространства на плоскости проекций P не затрачиваются параметры на задание центра гомологии F0 , то таких гомологий на плоскости P будет ∞3.

Частным случаем гомологии является элация – она получается на плоскости проекций P, когда m∩d и когда F0 ∈ d1=d2 (рис. 23, 24).

missing image file

Рис. 23

missing image file

Рис. 24

Если плоскость Σ пространства пересекает прямую m в точке K, которая образует гармоническую четверку (F0K S1S2) = -1, то гомология T11 – модель этой плоскости на P будет инволюционной ℑ1 (рис. 25).

missing image file

Значит связка (K) плоскостей пространства будет моделироваться инволюционными гомологиями, которых на плоскости проекций P будет – ∞2, так как в этом случае не затрачивается параметр на задание соответственных точек гомологии, а их положение определяется из соотношения:

(F0 D A1 A2) = -1

или

(F0D) ~ (A1A2), где D = d1 = d2 ∩ (A1A2).

Пучок (missing image file) плоскостей моделируется на плоскости P гомологиями, имеющими общий центр F0 и общую ось гомологии исключенную прямую missing image file, такие гомологии будут гиперболического типа и их на плоскости P будет ∞ 2 .

Пучок (m) плоскостей моделируется на плоскости P пучком (F) двойных прямых, являющихся одновременно осями гомологий и носителями соответственных точек гомологий, такие гомологии будут гомологиями параболического типа и их на плоскости проекций P будет ∞1.

Если центр гомологии на плоскости будет несобственной точкой F0∞, тогда соответственные точки гомологии будут располагаться на параллельных прямых, такая гомология называется родством (рис. 26). Если центр и ось гомологии будут на плоскости несобственными элементами, то гомология будет перемещение (рис. 27).

missing image file

Рис. 26

missing image file

Рис. 27

Резюмируем выше изложенное:

в классическом методе двух изображений взаимно однозначными соответствиями на плоскости проекции моделируются оригиналы пространства:

- точка – парой точек;

- прямая – парой прямых;

- плоскость – гомологией.

В методе двух следов основным элементом является прямая. Аппарат классического метода двух следов состоит из плоскости изображения P, двух вспомогательных плоскостей Π1 и Π2 и центра проецирования S (рис. 28). Оригинал прямая missing image file пересекает вспомогательные плоскости Π1 и Π2 в точках ?1 и ?2, которые из центра S проецируется на плоскость изображения P в точки A1 и A2, которые на плоскости P располагаются определенным образом относительно исключенной прямой missing image file.

missing image file

Плоскость Σ пространства E3 пересечет вспомогательные плоскости missing image fileи missing image file по прямым missing image file и missing image file, которые из центра S проецируются на плоскость P в пару прямых линий n1 и n2, пересекающих исключенную прямую missing image file. Точка P пространства определяется как центр связки прямых или как центр связки плоскостей, поэтому моделью точки в методе двух следов на плоскости изображений P будет гомология. Значит, в методе двух следов основные элементы пространства E3 будут моделироваться взаимно однозначными соответствиями:

- прямая – парой точек;

- плоскость – парой прямых;

- точка – гомологией.

Частными случаями аппаратов классических методов двух изображений и двух следов являются:

- эпюр Монжа,

- аксонометрия,

- перспектива,

- проекции с векторными отметками,

- проекции с числовыми отметками и. т.д.

Эпюр Монжа (комплексный чертеж) можно получить следующим образом.

Основную плоскость missing image file совместить с вспомогательной плоскостью missing image file, а плоскость missing image file расположить к ней перпендикулярно. За центр проецирования missing image file принимаем бесконечно удаленную точку missing image file, ортогонально – сопряженную с плоскостью missing image file, за центр missing image file ортогонально – сопряженную точку с плоскостью missing image file. За центр missing image file принимается бесконечно удаленная точка ортогонально – сопряженная с биссекторной плоскость двугранного угла плоскостей missing image fileи missing image file, которая является тождественной плоскостью (рис. 29).

missing image file

Рис. 29

При таком выборе проецирующего аппарата вторичные проекции А2 точки А совпадут с ортогональной проекцией ?2 на плоскости изображения missing image file. А вторичная проекция А1 может быть получена из ортогональной проекции ?1 путем совмещения поля missing image file с полем проекций missing image file вращением плоскости missing image file вокруг линии пересечения плоскостей missing image file и missing image file. Исключенной точкой чертежа является бесконечно удаленная точка missing image file, через которую проходят линии связи эпюра Монжа. Как видно из вышеизложенного, плоскость на эпюре Монжа будет моделироваться родством.

В дальнейшем, не уменьшая общности рассуждений, будем предполагать, что вспомогательные плоскости проекций Π1 и Π2 совмещены с основной плоскостью проекций P. Основной центр проецирования помещен в точку S∞ в направлении, перпендикулярном плоскости P. В этом случае проекции точки A на вспомогательные плоскости совпадут с ее первичными проекциями на плоскости P, то есть ?1 =A1 , ?2 =A2.

I. 6. Конструирование кривых линий по их моделям

В связи с тем, что свойства поверхностей во многом определяются свойствами их линий, конструирование кривых представляет важную компоненту сложной задачи конструирования поверхностей, удовлетворяющих ряду наперед заданных условий. Существует непосредственная взаимосвязь свойств конструируемой кривой линии, свойств и положения порождающих ее проективных пучков линий. Последнее дает возможность прогнозировать свойства конструируемой кривой до ее непосредственного получения в виде одномерного массива точек.

Как было показано выше, в качестве носителей конструируемой кривой линии берется плоскость пучка missing image file плоскостей, которая по i1 = i2 пересекает плоскость проекций П, а точка missing image file есть точка пересечения прямой missing image file с плоскостью проекций П.

Таким образом, конструируемая кривая линия missing image fileпорядка missing image file является рациональной алгебраической кривой линией, имеющей одну missing image file – кратную точку missing image file иmissing image file двойные точки, которые в зависимости от характеристик проецирующих пучков кривых могут быть собственными и несобственными, узловыми, изолированными и точками возврата.

В инженерной практике применяются кривые высших порядков, имеющих наименьшее число действительных собственных кратных точек или без них. Рассмотрим на примере конструирования кривой линии четвертного порядка, как можно управлять типом ее двойных точек на стадии задания пучков коник, ее порождающих. Не распавшаяся кривая линия четвертого порядка может иметь три двойные или одну трехкратную точку, тогда она становится рациональной кривой линией. Количество и тип двойных точек конструируемой кривой линии определяется количеством и типом совпавших базисных точек проективных пучков кривых линий, порождающих конструируемую кривую линию:

1. При конструировании кривой линии missing image file порядка p + q проективными пучками кривых линий cp, bq порядка p, q устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками конструируемой кривой линией missing image file и прямолинейным носителей i1=i2 посредством проецирующих пучков кривых линий, что является признаком рациональности конструируемой кривой линии.

2. Конструируемая по описанной схеме кривая линия missing image file имеет одну (p +q – 2) – кратную точку missing image file и p +q – 2 двойных точек.

При решении ряда инженерных задач, например, при обработке результатов эксперимента, в качестве аппроксимирующей или интерполирующей кривой линии используют моноидальные кривые линии имеющие точку максимальной кратности. Изложенный аппарат позволяет конструировать такие кривые линий. Для этого достаточно на прямолинейном носителе i1= i2 задать проективитет, у которого одна двойная точка совпадает с точкой missing image file, которая будет вершиной (кратной точкой высшей кратности) для конструируемой кривой линии.

Таким образом, в заключение можно заметить, что рассмотренный нами аппарат конструирования кривых линий позволяет конструировать широкий класс рациональных кривых линий, имеющих ряд наперед заданных особенностей. Этот факт позволяет использовать предложенный аппарат для конструирования поверхностей, удовлетворяющих заданным требованиям позиционного характера, связанных с их инцидентностью дискретному каркасу кривых линий.

I. 7. Моделирование пространственных кривых линий

Рассмотрим центральное проецирование пространственных кривых линий на плоскость. Пространственная кривая линия missing image file порядка n из точки missing image file проецируется на плоскость P конусом Σmissing image file(P, missing image file) порядка n с вершиной в точке P и направляющей кривой линией missing image file. Эта коническая поверхность Σmissing image file(P, missing image file) пересекает плоскость P по кривой линии missing image file порядка n, если образующие конуса Σmissing image fileявляются его унисекантами. В этом случае касательная t в точке A кривой missing image file проецируется в касательную t1 в точке A1 кривой линии missing image file (рис. 30).

missing image file

Рис. 30

Если заставить приближаться точку P к A по прямой (PА), то проекция missing image file в точке А1 будет уплощаться и при P=A проекция missing image file распадается на прямую t1 и кривую missing image file порядка n-1. Здесь прямая t1 является следом соприкасающейся плоскости Г, построенная в точке Р=А к кривой missing image file. В том случае, когда пространственная кривая линия missing image file имеет k – кратную точку B, проекция кривой линии missing image file из точки P=B распадается на k прямых и на кривую линию missing image file порядка n – k .В этом случае прямые t k является следами соприкасающихся плоскостей, проходящих к k ветвям кривой линии missing image file в точке P=B.

Если каждая образующая конуса Σmissing image file(P,а n) пересекает направляющую кривую линию missing image file в m точках, то проекция missing image file на плоскости P будет порядка n/m -, потому, что в этом случае конус Σmissing image file(Р, a ) распадается на m конусов , имеющих общую вершину Р и общие образующие.

Таким образом, при проецировании пространственной кривой линии missing image file на плоскость порядок проекции равен порядку оригинала лишь тогда, когда образующие конической поверхности являются ее унисекантами.

Рассмотрим проецирование пространственной кривой линии missing image file порядка r посредством конгруэнции Kr(n, k) прямых, заданной фокальными кривыми линиями missing image file и missing image file порядков missing image file иmissing image filemissing image file соответственно, где missing image file. При произвольном расположении кривой линии missing image file относительно фокальных кривых линийmissing image file и missing image file, аппарата отображения проекцией кривой линии missing image fileна плоскость П будет кривая линия missing image file порядка missing image file – след линейчатой поверхности Фmissing image fileо трех направляющих кривых линий missing image file, так как из теории конгруэнций известно, что порядок поверхности F равен произведению порядка погружаемой кривой линии missing image file на сумму порядка n и класса k данной конгруэнции.

Если пространственная кривая линия missing image file пересекает фокальную кривую линию, например, кривую линию missing image file в p простых точках Cp , то линейчатая поверхность о трех направляющих распадается на р конусовmissing image file порядка missing image file и на линейчатую поверхность Doc2.pdf порядка r (n + k) – pn2 = 2rn2n1 – pn2.

Если пространственная кривая линия missing image file пересекает обе фокальные кривые линии, например, missing image file в р простых точках Ср кривую линию missing image fileв q простых точках Bq , то линейчатая поверхность о трех направляющих распадается на p конусов Doc3.pdf порядка missing image file и на q конусов Doc3.pdfпорядка missing image file и на линейчатую поверхность Doc3.pdf порядка r(n+k) – pn2 – qn1.

Если пространственная кривая линия ar пересекают фокальные кривые линии, например, кривую линию missing image file в i – кратной точке C , а кривую линию missing image file в j – кратной точке B, то линейчатая поверхность о трех направляющих распадается на i конусов missing image file порядка missing image file и на j конусов missing image file порядка missing image file и на линейчатую поверхность missing image file порядка r (n + k) – in2 – jn1. Наивысшая кратность точек C и B может быть соответственно missing image file и missing image file в том случае, если фокальные кривые линии missing image file, missing image file, будут плоскими кривыми линиями моноидального типа с вершинами в точках C и B соответственно.

Таким образом, при проецировании пространственной кривой линии missing image file на плоскость при помощи конгруэнций прямых Kг(n, k) в зависимости от положения погружаемой кривой линии missing image file относительно фокальных линий missing image file, missing image file можно получить в качестве проекции данной кривой линии missing image file кривые линии, порядки которых изменяются в широком пределе. Существование этих пределов позволяет подбирать аппараты отображения пространственной кривой линии missing image file на плоскость с целью получения в качестве проекции кривой линии с наперед заданными характеристиками (порядка, числом и кратностью особых точек и т. д.).

I. 8. Моделирование плоских кривых линий

Построение проекций кривых линий, расположенных в проецирующей плоскости, мы рассмотрим в контексте с основной задачей, связанной с изучением свойств поверхностей, несущих в пучке missing image file плоскостей каркас кривых линий аiv порядка v=2. Плоскости missing image file пересекаясь с плоскостью изображения П, образуют носители missing image file, на которых устанавливается соответствия, получаемые при двойном проецировании линий missing image file каркаса поверхности определенным аппаратом.

I. 8. 1. Моделирование плоских кривых линий двумя пучками прямых

Рассмотрим случай моделирования кривых линий второго порядка проецированием двумя пучками прямых (S1), (S2), расположенных в плоскости кривой линии.

При произвольном расположении центров проецирования S1, S2 относительно модулируемой кривой линии missing image fileна носителе i1 = i2 устанавливается (2÷2) – значное соответствие, так как одной точке ?1 , носителя i1 соответствуют две точки, которые из второго центра S2 проецируются на носитель i2 в две точки ?2, B2 (рис. 31).

missing image file

Рис. 31

Аналогично одной точке A2 ряда i2 соответствует две точки ?1, B1 ряда i1. Чтоб получить взаимно однозначное соответствие при проецировании коники двумя пучками прямых, центры проецирования необходимо поместить на конику. Тогда каждая проецирующая прямая пучка прямых пересечет конику и носитель missing image file(рис. 32).

missing image file

Рис. 32

Таким образом, в этом случае моделью коники missing image fileна прямолинейном носителе missing image file будет взаимно однозначное (проективное) соответствие. Точки пересечения коники missing image file с носителем missing image file являются двойными точками проективитета (модели). Проективные соответствия в зависимости от количества и типа двойных точек могут быть гиперболическими (двойные точки различные и действительные) (рис. 33, а), параболическими (действительные точки совпадают) (рис. 33, б), эллиптическими (две различные мнимые точки) (рис. 33, в), не инволюционными (рис.33, г), инволюционными (рис. 33, д). При совпадении одной двойной точки с несобственной точкой носителя missing image file проективитет вырождается в аффинитет (рис. 33, е).

Далее рассмотрим моделирование плоских кривых линий третьего порядка missing image file, которые могут быть жанра 1 и 0 (жанр (род) алгебраической кривой линии равен разности между наибольшим числом двойных точек кривой и фактическим числом двойных точек) (рис. 34 а, б).

missing image file

Рис. 33

missing image file

Рис. 34

На рис. 34,б изображена кривая линия missing image file жанра 0. В зависимости от расположения центров проецирования относительно моделируемой кривой missing image file можно получить следующие виды соотношений на i1 = i2:

а) если центры проецирования не инцидентны кривой линии missing image file, то моделью кривой линии на носители i1 = i2 будет (3 ÷3) – значное соответствие;

б) если один центр проецирования не инцидентен кривой линии missing image file, а другой центр проецирования инцидентен простой точке кривой линии missing image file, то моделью кривой линии missing image file на носители i1= i2 будет (3 ¸ 2) – значное соответствие;

в) если центры проецирования инцидентны простым точкам кривой линии missing image file, то на носителе i1 = i2 будет моделироваться (2¸ 2) – соответствие;

г) если один центр проецирования инцидентен простой точке кривой линии missing image file, а второй центр проецирования инцидентен двойной точке кривой линии missing image file жанра 0, то на носителе i1 = i2 будет моделироваться (2¸1) – значное соответствие.

Таким образом, из вышеизложенного видно, что при использовании двух центральных проецирований кривую линии missing image file порядка 3 невозможно моделировать на прямолинейном носителе i1 = i2 взаимно однозначным соответствием. Аналогично можно показать, что в случае проецирования плоских кривых линий порядка n>2 двойным центральным проецированием на прямолинейный носитель i1 = i2 невозможно получить взаимно однозначное соответствие.

I. 8. 2. Криволинейное проецирование плоских кривых линий

Рассмотрим моделирование плоской кривой линии missing image file порядка 3 жанра 0 проецированием пучком прямых (S) и пучком коник, которые заданны четырьмя базисными точками 1,2,3,4 на прямолинейном носителе i1 = i2 . (Коника – кривая линия второго порядка на плоскости определяется пятью параметрами или, например, пятью точками. Если закрепить четыре параметра или четыре точки, то получим пучок коник на плоскости).

Проецирование при помощи кривых линий называется криволинейным проецированием. При произвольном положении базисных точек пучков относительно друг друга, моделируемой кривой линии и прямолинейного носителя i1 = i2 можно получить в качестве моделей соответствия различной значимости. Если базисные точки пучков прямых и коник не инцидентны кривой missing image file, на прямолинейном носители моделируется (6¸6) – значное соответствие. Значность соответствие, получаемого на прямолинейном носителе снизится до (2¸2) – значного, если базисные точки пучков проецирующих линий будут инцидентны простым точкам кривой линии missing image file.

Рассмотрим ограничения, которые необходимо наложить на взаимное положение базисных точек пучков проецирующих кривых линии, носителя i1 =i2 и кривой линии missing image file для получения взаимно однозначного соответствия.

1. При проецировании пучком коник каждая коника missing image file (рис. 35) пучка (1234) коник должна пересекать прямолинейный носитель i1 = i2 в одной свободной точке, missing image file например А2, что обеспечивается инциденцией прямолинейного носителя одной базисной точки пучка коник, например, точке 4.

2. При проецировании пучком missing image fileпрямых, каждая прямая пучка missing image file должна пересекать прямолинейный носитель i1 = i2 в одной свободной точке, например missing image file, и кривую линию missing image file в одной свободной точке, например А, поэтому точку S помещаем в двойную точку P кривой линии missing image file,т.е. S=P.

3. Каждая коник missing image fileпучка (1 2 3 4) коник должна пересекать линию missing image file в одной свободной точке, например А, а кривая линия missing image file с коникой пересекается в 6-ти точках, значит для обеспечения одного свободного их пересечения, необходимо 5 точек их взаимного пересечения зафиксировать, что возможно, если базисные точки 1,2,3,4 пучка (1234) коник будут инцидентны линии missing image file, при чем одна из базисных точек пучка (1 2 3 4), например, 1 будет совпадать с двойной точкой оригинала P, т. е. S=1=P.

missing image file

Рис. 35

Только в этом случае кривая линия missing image file будет моделироваться на i1= i2 (1÷1) – значным соответствием. Действительно, точка missing image file выделяет из пучка (S) прямых единственную прямую, например, missing image file, которая пересекает линию missing image file и носитель i1= i2 каждую в одной точке A и A1 . Точка missing image file выделяет из пучка, (1 2 3 4) коник единственную конику, например, missing image file, которая пересекает линию missing image fileи носитель i1= i2 каждую в одной точке A, A2. Значит, точка A моделируется на прямолинейном носителе i1= i2 парой соответственных точек A1 ~ A2.

В общем случае при моделировании алгебраической кривой линии missing image file порядка missing image file на прямолинейном носителе i1= i2 двумя пучками кривых линий missing image file порядков missing image file и missing image file для получения (1÷1) – значного соответствия необходимо выполнение следующих условий.

1. Каждая кривая линия missing image fileданных пучков кривых линий прямолинейный носитель i1= i2 должны пересекать в одной свободной точке, что можно достичь двумя путями:

а) Инциденцией определенного количества базисных точек пучков кривых линий прямолинейному носителю i1= i2;

б) Выбора в качестве кривых линий missing image file пучков кривых линий, кривые линии моноидального типа с общей вершиной, например, точкой F0 , инцидентной прямолинейному носителю i1= i2.

2. Пучки проецирующих кривых линий missing image file соответственно порядков missing image file и missing image file должны иметь missing image file общих базисных точек.

Действительно, чтобы точка missing image file моделировалась парой соответственных точек A1 ~ A2 на прямолинейном носителе i1= i2, проецирующие кривые линии missing image file порядков missing image file и missing image file должны пересекаться в одной свободной точке A, остальные точки их пересечения должны быть фиксированными. Кривые линии missing image file пересекаются в missing image file точках, из которых (v – k – 1)(k – 1) приходятся на вершину F0, так как она missing image file- иmissing image file- кратна на прямолинейном носителе i1= i2.

Поэтому проецирующие кривые линии missing image file кроме точек F0 и A будут иметь еще (v – k)k(v – k – 1)(k – 1) – 1 = v – 2 общих точек Qi.

3. Из проективного способа образования кривых следует, что общие базисные точки проективных пучков кривых линий являются двойными для порождаемой кривой, в нашем случае для кривой линии missing image file, поэтому кривая линия missing image file должна иметь missing image file двойных точек Qi. Кроме того, кривая линия missing image file пересекает носитель i1= i2. в двух двойных точках проективитета, поэтому точка F0 принадлежит кривой линии missing image fileи является для нее (missing image file) – кратной точкой.

4. Каждая кривая линия missing image file пучка кривых линий должна пересекаться с моделью лишь в одной свободной точке A. Поэтому пучок кривых линий (ck) должен иметь н модели кривой линии missing image file кроме missing image file- кратной базисной точки F0 и v – 2 базисных точки Qi еще

Doc4.pdf

базисных точек. А пучок кривых линий missing image file должен иметь еще

Doc4.pdf

базисных точки.

Из теории известно, что (missing image file) – кратная точка кривой линии missing image file эквивалентна (missing image file)(missing image file)/2 двойным точкам. Значит кратные точки кривой линии missing image file эквивалентны

Doc4.pdf

двойным точкам, то есть максимально возможному числу двойных точек. Поэтому оригинал missing image file должен быть рациональной алгебраической кривой линией (жанра 0). Значит, справедливо предложение: плоская рациональная алгебраическая кривая линия missing image file с (missing image file) – кратной точкой missing image file и (missing image file) двойными точками Qi моделируется на прямолинейном носителе i1= i2 взаимно однозначным соответствием. При проецировании двумя пучками моноидальных кривых линий missing image file, имеющих общую вершину F0 и общие missing image file базисные точки Qi, если первый пучок кривых линий имеет на кривой линией missing image file дополнительно missing image file базисных точки, а второй пучок – missing image fileбазисных точки.

Таким образом, используя криволинейное проецирование значительно расширяется круг плоских кривых линий, которые могут отображаться на прямолинейный носитель взаимно однозначными соответствиями.


Библиографическая ссылка

Вертинская Н.Д. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ В МЕТОДАХ МОДЕЛИРОВАНИЯ И КОНСТРУИРОВАНИЯ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ // Научное обозрение. Технические науки. – 2016. – № 3. – С. 5-25;
URL: https://science-engineering.ru/ru/article/view?id=1084 (дата обращения: 06.03.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074