Научный журнал
Научное обозрение. Технические науки
ISSN 2500-0799
ПИ №ФС77-57440

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МНОГОСВЯЗНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В ПЕРЕКРЕСТНЫХ СВЯЗЯХ

Ильясов Б.Г. 1 Елизарова А.В. 1 Саитова Г.А. 1
1 Уфимский государственный авиационный технический университет
Статья посвящена исследованию многосвязных систем автоматического управления (МСАУ) с запаздыванием в перекрестных связях. Рассматривается линейная многосвязная система автоматического управления, состоящая из множества идентичных (однотипных) сепаратных подсистем и связей через многомерный объект управления. Объектом исследования является многомерная САУ с запаздыванием со связями через объект управления. Для исследования линейных многосвязных систем автоматического управления используется метод декомпозиции, при котором данная система рассматривается как множество управляемых подсистем, взаимосвязанных и взаимодействующих друг с другом и образующих единое целое. Поэтому многосвязные системы автоматического управления можно описать на уровне физических подсистем и многомерных элементов связи между ними, которые рассматриваются в качестве первичных базовых элементов системы. Сложность управления многомерными объектами заключается в наличии перекрестных связей в многосвязных объектах управления и наличии запаздываний в разных частях объекта. Цель работы – на основе системного подхода описания многосвязной системы автоматического управления через характеристики связей и характеристики подсистем предлагается определение устойчивости системы с запаздыванием в перекрестных связях. Эффективность предложенного подхода подтверждена с помощью моделирования системы в пакете MATLAB SIMULINK.
многосвязная система автоматического управления
запаздывание
метод декомпозиции
устойчивость
перекрестные связи
прямые каналы
1. Дядик В.Ф., Байдали С.А., Криницын Н.С. Теория автоматического управления: учеб. пособие. Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011. 196 с.
2. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. СПб.: Питер, 2015. 336 с.
3. Елизарова А.В. Исследование линейных многосвязных систем автоматического управления с запаздыванием в прямых и перекрестных связях // Актуальные проблемы науки и техники: материалы 11 Всероссийской зимней школы-семинара магистрантов, аспирантов и молодых ученых (с международным участием): в 3 т. / Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. Уфа: РИК УГАТУ, 2018. С. 88–92.
4. Филимонов А.Б. Спектральная декомпозиция систем с запаздываниями. Компенсация запаздываний. М.: Издательство физико-математической литературы, 2002. 288 с.
5. Бороденко В.А. Сборник задач по теории автоматического управления: учебно-методич. пособие. Павлодар: Кареку, 2009. 112 с.
6. Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления // Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. М.: Физматлит, 2008. 328 с.
7. Ильясов Б.Г., Саитова Г.А. Исследование линейных многосвязных САУ с запаздыванием // ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор». 2012. С. 131–135.
8. Ильясов Б.Г., Васильев В.И., Валеева Р.Г. Анализ устойчивости систем автоматического управления: учеб. пособие. Уфа: УГАТУ, 2006. 204 с.
9. Соловьев В.В., Шадрина В.В., Шестова Е.А. Исследование нечетких систем управления в среде Matlab: учеб. пособие. Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2015. 54 с.
10. Ильясов Б.Г., Саитова Г.А. Анализ устойчивости динамических систем, представленных в полиномиальной векторно-матричной форме // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. 2018. № 2. С. 3–10.
11. Дорф Р.К., Бишоп Р.Х. Современные системы управления. М.: Лаборатория базовых знаний, 2014. 831 с.
12. Поляков К.Ю. Теория автоматического управления для «Чайников». СПб., 2008. 80 с.
13. Гудвин Г.К., Гребе С.Ф., Сальгадо М.Э. Проектирование систем управления. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. 911 с.

Многосвязная система автоматического управления (МСАУ) – система, в которой одновременно осуществляется регулирование нескольких взаимосвязанных координат. Из-за тесной взаимосвязи между процессами регулирования отдельных координат в таких системах тяжело изучать в полной мере процессы самой системы [1, 2].

Наличие запаздывания в системах автоматического управления усложняет задачу управления объектом, особенно если объект еще и многомерный. Потому что задержка в контуре управления приводит к возрастанию фазового сдвига, которая способна спровоцировать неустойчивость замкнутой системы, в том числе при наличии небольших коэффициентов усиления регулятора [3, 4].

В статье рассматривается линейная многосвязная система автоматического управления, состоящая из множества идентичных (однотипных) сепаратных подсистем и связей через многомерный объект управления. Объектом исследования является МСАУ с запаздыванием со связями через объект управления (рис. 1).

Данная МСАУ представляется с помощью следующих уравнений движения:

eliz01.wmf (1)

где X0(s), X(s), U(s) – векторы задающих, регулируемых, управляющих воздействий соответственно;

eliz1.tif

Рис. 1. Структурная схема МСАУ: X0 (s), X(s) – векторы входных и выходных величин; E(s)– единичная матрица; W(s, τ) – передаточная функция; R(s) – МПФ регулятора

eliz02.wmf – матричная передаточная функция (МПФ) многомерного объекта по управляющим воздействиям, с запаздыванием в перекрестных связях;

eliz03.wmf – МПФ сепаратных регуляторов [5, 6].

Цель исследования: на основе системного подхода описания МСАУ через характеристики связей и характеристики подсистем предлагается определение устойчивости системы с запаздыванием в перекрестных связях.

Используем подход, где линейная МСАУ рассматривается как множество управляемых подсистем, взаимосвязанных и взаимодействующих друг с другом и образующих единое целое. Данный вид системы можно описать на уровне физических подсистем и многомерных элементов связи между ними, которые рассматриваются в качестве первичных базовых элементов системы [7, 8].

Рассмотрим однотипную МСАУ с запаздыванием в подсистемах. Передаточные функции объекта управления (ОУ) Wij(s) – однотипные, следовательно:

eliz04.wmf,

где eliz05.wmf – матричная передаточная функция многомерного объекта;

eliz06.wmf – передаточная функция регуляторов с учётом требования астатизма первого порядка по каждому из каналов, равные между собой.

Для МСАУ, соответствующей системе уравнений (1), передаточные функции индивидуальных характеристик подсистем имеют вид [9]:

eliz07.wmf (2)

Для полной МСАУ, состоящей из n подсистем и соответствующей системе уравнений (1), характеристика связи (ХС) в общем виде между k подсистемами имеет вид

eliz08.wmf,

где Wij(s) – передаточные функции МСАУ.

eliz09.wmf

eliz10.wmf eliz11.wmf; eliz12.wmf.

Характеристическое уравнение МСАУ в общем виде имеет вид

eliz13.wmf (3)

где hk*(s) = hk(s)e-ts, k = 1,…,n.

Проанализируем уравнение связей относительно переменной x:

eliz14.wmf (4)

Данное уравнение получается из (3) с помощью подстановки eliz15.wmf.

Построив на комплексной плоскости годограф функции Wз(jω) без запаздывания, и корни уравнения (4) eliz16.wmf, можно найти критическое значение τiкр.

Для нахождения критического значения запаздывания tкр необходимо, чтобы годограф Ф(jw), построенный на одной комплексной плоскости с корнями уравнения (3), проходил через ближайший из них и не охватывал при этом другие, то есть МСАУ оказалась на границе устойчивости [10, 11]. Из этого условия получаем систему из двух уравнений относительно t и ω0:

eliz17.wmf eliz18.wmf (5)

Критическое значение запаздывания eliz19.wmf, eliz20.wmf – это минимальное из найденных значений ti .

Согласно известному критерию устойчивости для многомерных систем необходимо и достаточно, чтобы годограф амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) подсистем Ф*(jw,t), для всех w∈(–∞, +∞), построенный на плоскости корней уравнения связи, не охватывал ни один из его корней [11].

Результаты исследования и их обсуждение

Рассмотрим многосвязную САУ с тремя одинаковыми подсистемами, где передаточная функция каждой равна eliz21.wmf. Характеристики связей равны h2 = 2,015; h3 = 0,76.

Матричная передаточная функция:

eliz22.wmf

eliz2.tif

Рис. 2. Годограф МСАУ с запаздыванием в перекрестных связях

eliz3.tif

Рис. 3. Переходный процесс МСАУ с запаздыванием в перекрестных связях

eliz4.tif

Рис. 4. Годограф МСАУ с запаздыванием в перекрестных связях

Добавив запаздывание в перекрестные связи, получаем

eliz23.wmf

где t1 = 0,02; t2 = 0,05; t3 = 0,07.

Характеристическое уравнение связи для САУ с тремя подсистемами равно

eliz24.wmf (6)

Корни характеристического уравнения связи (6) при w = 0 равны:

x1,2 = 1,9864 ± 1,1352i;

x3 = –1,3176 + 0,0000i.

Так как корни характеристического уравнения не пересекают годограф W(jw), следовательно, система устойчива (рис. 2). Эффективность подхода подтверждена с помощью моделирования (рис. 3) [12, 13].

Поскольку колебания затухают, следовательно, это свидетельствует об устойчивости трехсвязной МСАУ при данных значениях запаздываний.

Повлиять на устойчивость системы можно не только с помощью других значений t, но и изменив коэффициенты перекрестных связей.

Рассмотрим ту же замкнутую САУ с тремя одинаковыми подсистемами, где передаточная функция каждой равна eliz25.wmf. Характеристики связей равны h2 = 4,23; h3 = –0,914.

Матричная передаточная функция:

eliz26.wmf

Добавив запаздывание в перекрестные связи, получаем

eliz27.wmf

где t1 = 0,02; t2 = 0,05; t3 = 0,07.

Корни характеристического уравнения связей (6) при w = 0 равны

x1 = 1,5348;

x2 = 0,5658;

x3 = –0,4134.

Так как один корень характеристического уравнения находится в области годографа W(jw), следовательно, система неустойчива (рис. 4).

Эффективность подхода подтверждена с помощью моделирования (рис. 5), где видно, что система выходит из состояния равновесия в неустойчивое [13].

eliz5.tif

Рис. 5. Переходный процесс МСАУ с запаздыванием в перекрестных связях

Заключение

В работе предложен метод декомпозиции, который позволяет с помощью описания МСАУ через характеристики связей и характеристики подсистем определить устойчивость МСАУ с запаздыванием. Также рассмотрен способ нахождения критического значения запаздывания для многосвязных систем. Правильность результатов подтверждена с помощью моделирования МСАУ с запаздыванием в перекрестных связях.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (Гранты РФФИ №18-08-00702 А, 18-08-01299 А).


Библиографическая ссылка

Ильясов Б.Г., Елизарова А.В., Саитова Г.А. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МНОГОСВЯЗНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В ПЕРЕКРЕСТНЫХ СВЯЗЯХ // Научное обозрение. Технические науки. – 2019. – № 2. – С. 24-28;
URL: https://science-engineering.ru/ru/article/view?id=1237 (дата обращения: 18.10.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074